Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10

Ôn tập lại lý thuyết cùng chỉ dẫn biện pháp giải những dạng toán về hệ thức lượng vào tam giác ngơi nghỉ lớp 10 qua những ví dụ có lời giải cụ thể.

You watching: Bài tập hệ thức lượng trong tam giác lớp 10

Chúng ta đề xuất lưu giữ những công thức và định lý trước khi vận dụng vào giải bài tập.


A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Định lí côsin

Trong tam giác $ABC$ cùng với $BC = a$, $AC = b$ với $AB = c.$ Ta có: $a^2 = b^2 + c^2 – 2bc.cos A.$ $b^2 = c^2 + a^2 – 2ca.cos B.$ $c^2 = a^2 + b^2 – 2ab.cos C.$

*
*
*
*
*
*
*
*

Áp dụng bí quyết con đường trung tuyến đường với tam giác $ABC$ với $ADC$ ta có: $AB^2 + BC^2 = 2BE^2 + fracAC^22$ $(1).$ $CD^2 + DA^2 = 2DE^2 + fracAC^22$ $(2).$ Từ $(1)$ với $(2)$ suy ra: $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = 2left( BE^2 + DE^2 ight) + AC^2.$ Mặt không giống $EF$ là mặt đường trung đường tam giác $BDF$ nên: $BE^2 + DE^2 = 2EF^2 + fracBD^22.$ Suy ra $AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2$ $ = AC^2 + BD^2 + 4EF^2.$

3. BÀI TẬP.. LUYỆN TẬP. Bài 1: Chứng minh rằng trong đông đảo tam giác $ABC$ ta có: a) $a = b.cos C + c.cos B.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B.$ c) $h_a = 2Rsin Bsin C.$ d) $m_a^2 + m_b^2 + m_c^2$ $ = frac34left( a^2 + b^2 + c^2 ight).$ e) $S_Delta ABC = frac12sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB .overrightarrow AC )^2 .$

a) Áp dụng định lí côsin ta có: $VP = b.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ + c.fracc^2 + a^2 – b^22ca$ $ = fraca^2 + b^2 – c^2 + c^2 + a^2 – b^22a$ $ = a = VT.$ b) $sin A = sin Bcos C + sin Ccos B$ $ Leftrightarrow fraca2R = fracb2R.cos C + fracc2R.cos B$ $ Leftrightarrow a = bcos C + ccos B$ (câu a). c) $h_a = 2Rsin Bsin C$ $ Leftrightarrow frac2Sa = 2Rfracb2Rsin C$ $ Leftrightarrow S = frac12absin C$ (đúng). d) Áp dụng cách làm đường trung đường. e) $sqrt AB^2.AC^2 – (overrightarrow AB. overrightarrow AC )^2 $ $ = AB.ACsqrt 1 – cos ^2A $ $ = AB.AC.sin A.$ Từ đó suy ra điều bắt buộc chứng minh.

Bài 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minch rằng: a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2h_a = frac1h_b + frac1h_c.$ b) Góc $A$ vuông $ Leftrightarrow m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2.$

a) $b + c = 2a$ $ Leftrightarrow frac2Sh_b + frac2Sh_c = 2.frac2Sh_a$ $ Leftrightarrow frac1h_b + frac1h_c = frac2h_a.$ b) $m_b^2 + m_c^2 = 5m_a^2$ $ Leftrightarrow frac2left( a^2 + c^2 ight) – b^24$ $ + frac2left( a^2 + b^2 ight) – c^24$ $ = 5.frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24.$ $ Leftrightarrow b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow $ góc $A$ vuông.

See more: Tòa Nhà Trung Tâm Hành Chính Tỉnh Bình Dương Bây Giờ Ra Sao?

Bài 3: Cho tam giác $ABC$ vừa lòng $a^4 = b^4 + c^4.$ Chứng minh rằng: a) Tam giác $ABC$ nhọn. b) $2sin ^2A = ã B ã C.$

a) Dễ thấy $a > b$, $a > c$ $ Rightarrow $ góc $A$ là lớn số 1. Và $a^4 = b^4 + c^4 Mặt không giống theo định lí côsin ta có: $cos A = fracb^2 + c^2 – a^22bc$ $ Rightarrow cos A > 0.$ Do đó $widehat A b) $2sin ^2A = chảy B ung C$ $ Leftrightarrow 2sin ^2Acos Bcos C = sin Bsin C.$ $ Leftrightarrow 2left( fraca2R ight)^2.fraca^2 + c^2 – b^22ac.fraca^2 + b^2 – c^22ab$ $ = fracb2R.fracc2R$ $ Leftrightarrow a^4 = b^4 + c^4.$

Bài 4: Hotline $S$ là diện tích S tam giác $ABC.$ Chứng minch rằng: a) $S = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = Rr(sin A + sin B + sin C).$

a) Ta tất cả $S = fracabc4R$ $ = frac2Rsin A.2Rsin B.2Rsin C4R$ $ = 2R^2sin Asin Bsin C.$ b) $S = pr$ $ = fraca + b + c2r$ $ = frac2Rsin A + 2Rsin B + 2Rsin C2r.$

Bài 5: Cho tứ đọng giác lồi $ABCD$, hotline $altrộn $ là góc hòa hợp vì chưng hai đường chéo $AC$ với $BD.$ Chứng minch diện tích S $S$ của tđọng giác mang đến vày công thức: $S = frac12AC.BD.sin altrộn .$

hotline $I$ là giao điểm hai tuyến phố chéo cánh. Lúc đó: $S = S_ABI + S_BC1 + S_CDI + S_DAI.$ $ = frac12AI.BI.sin widehat AIB$ $ + frac12BI.CI.sin widehat BIC$ $ + frac12CI.DI.sin widehat CID$ $ + frac12DI.AI.sin widehat DIA.$ Ta bao gồm các góc $widehat AIB$, $widehat BIC$, $widehat CID$ với $widehat DIA$ song một bù nhau suy ra: $sin widehat AIB = sin widehat BIC$ $ = sin widehat CID = sin widehat DIA$ $ = sin altrộn .$ Do kia $S = frac12BI.AC.sin altrộn $ $ + frac12ID.AC.sin alpha $ $ = frac12AC.BD.sin alpha .$

DẠNG TOÁN 4: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

1. PHƯƠNG PHÁPhường GIẢI

Sử dụng định lí côsin, định lí sin, bí quyết đường trung tuyến, cách làm tính diện tích tam giác để đổi khác trả thiết về hệ thức contact cạnh (hoặc góc) từ kia suy ra dạng của tam giác.

2. CÁC VÍ DỤ

lấy ví dụ như 1: Cho tam giác $ABC$ tán thành $sin C = 2sin Bcos A.$ Chứng minch rằng tam giác $ABC$ cân.

Áp dụng định lí côsin cùng sin ta có: $sin C = 2sin Bcos A$ $ Leftrightarrow fracc2R = 2.fracb2R.fracb^2 + c^2 – a^22bc.$ Suy ra tam giác $ABC$ cân tại đỉnh $C.$

ví dụ như 2: Cho tam giác $ABC$ nhất trí $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C.$ Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông.

See more: Vương Cung Thánh Đường Đức Mẹ La Vang Ở Quảng Trị, Vương Cung Thánh Đường Đức Mẹ La Vang

Ta có: $sin A = fracsin B + sin Ccos B + cos C$ $ Leftrightarrow sin A(cos B + cos C)$ $ = sin B + sin C.$ $ Leftrightarrow fraca2Rleft( fracc^2 + a^2 – b^22ca + fraca^2 + b^2 – c^22ab ight)$ $ = fracb + c2R.$ $ Leftrightarrow bleft( c^2 + a^2 – b^2 ight) + cleft( a^2 + b^2 – c^2 ight)$ $ = 2b^2c + 2c^2b.$ $ Leftrightarrow b^3 + c^3 + b^2c + bc^2 – a^2b – a^2c = 0$ $ Leftrightarrow (b + c)left( b^2 + c^2 ight) – a^2(b + c) = 0.$ $b^2 + c^2 = a^2$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ vuông tại $A.$

lấy ví dụ như 3: Nhận dạng tam giác $ABC$ trong những trường hợp sau: a) $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c.$ b) $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$

a) Áp dụng phương pháp diện tích S ta bao gồm $S = frac12bcsin A = frac12ah_a$ suy ra: $asin A + bsin B + csin C$ $ = h_a + h_b + h_c$ $ Leftrightarrow a.frac2Sbc + b.frac2Sca + c.frac2Sab$ $ = frac2Sa + frac2Sb + frac2Sc.$ $ Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ $ Leftrightarrow (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 = 0.$ $ Leftrightarrow a = b = c.$ Vậy tam giác $ABC$ gần như. b) Ta có: $fraccos ^2A + cos ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + cot ^2B ight).$ $ Leftrightarrow fraccos ^2A + cos ^2B + sin ^2A + sin ^2Bsin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( cot ^2A + 1 + cot ^2B + 1 ight).$ $ Leftrightarrow frac2sin ^2A + sin ^2B$ $ = frac12left( frac1sin ^2A + frac1sin ^2B ight)$ $ Leftrightarrow left( sin ^2A + sin ^2B ight)^2$ $ = 4sin ^2Asin ^2B.$ $ Leftrightarrow sin ^2A = sin ^2B$ $ Leftrightarrow left( fraca2R ight)^2 = left( fracb2R ight)^2$ $ Leftrightarrow a = b$ $ Leftrightarrow Delta ABC$ cân tại $C.$

3. BÀI TẬPhường LUYỆN TẬP. Bài 1: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minh tam giác $ABC$ cân nặng ví như $h_a = csin A.$

Sử dụng phương pháp $S = frac12ah_a = frac12bcsin A$ ta có: $h_a = csin A$$ Leftrightarrow bh_a = ah_a$ $ Leftrightarrow a = b$ suy ra tam giác $ABC$ cân tại $C.$

Bài 2: Cho tam giác $ABC.$ Chứng minc tam giác $ABC$ cân nặng nếu $4m_a^2 = b(b + 4ccos A).$

Sử dụng phương pháp mặt đường trung tuyến với định lí sin. $4m_a^2 = b(b + 4ccos A)$ $ Leftrightarrow 4frac2left( b^2 + c^2 ight) – a^24$ $ = bleft( b + 4c.fracb^2 + c^2 – a^22bc ight)$ $ Leftrightarrow a = b.$

Bài 3: Chứng minh rằng tam giác $ABC$ đầy đủ Khi còn chỉ khi: $a^2 + b^2 + c^2 = 36r^2.$

Ta có: $r^2 = fracS^2p^2$ $ = frac(p – a)(p – b)(p – c)p.$ Theo Cauchy: $(p – a)(p – b)(p – c)$ $ le left( frac3p – a – b – c3 ight)^3$ $ = left( fracp3 ight)^3.$ Suy ra $36r^2 le frac4p^33p$ $ = frac(a + b + c)^23$ $ le a^2 + b^2 + c^2.$ Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ còn Lúc $a = b = c$ tuyệt tam giác $ABC$ những.

Bài 4: Cho tam giác $ABC.$ Tìm góc $A$ vào tam giác biết các cạnh $a$, $b$, $c$ toại ý hệ thức: $bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $(b e c).$

$bleft( b^2 – a^2 ight) = cleft( c^2 – a^2 ight)$ $ Leftrightarrow b^3 – c^3 = a^2(b – c)$ $ Leftrightarrow b^2 + bc + c^2 = a^2.$ Theo định lí côsin thì $a^2 = b^2 + c^2 – 2bccos A$ $ Leftrightarrow cos A = frac12$ $ Leftrightarrow widehat A = 60^0.$


Chuyên mục: Blog